수학 기초: 토크 — 문 손잡이가 문 끝에 달린 이유

문은 왜 끝을 밀어야 잘 열릴까

교실 문을 떠올려 보자. 문에는 손잡이가 하나 있다. 그 손잡이는 늘 문의 바깥쪽 끝에 달려 있다. 경첩(문이 붙어서 돌아가는 부분) 바로 옆에 손잡이가 달린 문은 본 적이 없을 것이다.

왜일까? 그냥 잡기 편해서? 아니다. 여기에는 이유가 있다. 문 끝을 밀면 훨씬 적은 힘으로 문이 열리기 때문이다.

한번 해 보자. 경첩 가까운 쪽을 손가락으로 밀어 보면 문이 꿈쩍도 안 한다. 그런데 손잡이 쪽을 살짝 밀면 스르륵 열린다. 같은 문인데 미는 자리만 바꿨을 뿐인데 말이다.

이 차이를 설명하는 것이 바로 토크다.

토크는 "돌리는 힘"이다

힘에는 두 종류가 있다고 생각하면 쉽다.

• 미는 힘 — 물건을 앞으로 쭉 밀어내는 힘. 썰매를 미는 것처럼.
• 돌리는 힘 — 물건을 빙글 돌리는 힘. 드라이버로 나사를 조이는 것처럼.

이 두 번째, 돌리는 힘이 토크다. 다른 말로 힘의 모멘트라고도 부른다. 문, 나사, 병뚜껑, 시소, 자전거 페달처럼 축을 중심으로 도는 것에는 전부 토크가 숨어 있다.

토크는 힘 × 거리

토크의 크기를 정하는 건 두 가지다.

토크 = 힘 × 축에서 떨어진 거리

곱하기라는 점이 중요하다. 힘을 2배로 키워도 토크가 2배가 되고, 거리를 2배로 늘려도 토크가 2배가 된다. 그러니까 힘이 약해도 멀리서 밀면 같은 효과를 낼 수 있다.

이제 답이 나왔다. 손잡이를 문 끝에 다는 이유는 거리를 최대한 길게 만들기 위해서다. 거리가 길어지면 약한 힘으로도 큰 토크가 생긴다. 유치원생도 문을 열 수 있는 건 이 덕분이다.

축에서 힘까지의 거리, 모멘트 팔

여기서 말하는 '거리'에는 정확한 이름이 있다. 모멘트 팔이라고 한다.

이름이 어렵지만 뜻은 간단하다. 축에서 힘이 작용하는 곳까지 뻗은 팔의 길이다. 팔이 길수록 힘이 잘 먹힌다. 그래서 스패너(나사를 조이는 공구)는 손잡이가 길고, 병따개도 길쭉하다. 팔을 길게 만들려는 것이다.

나사가 너무 안 풀릴 때 어른들이 스패너에 쇠파이프를 끼워 길게 만드는 걸 본 적 있을지도 모른다. 그것도 모멘트 팔을 늘리는 방법이다.

미는 방향도 중요하다

여기서 한 가지 더. 문을 밀 때 어느 방향으로 미는지도 중요하다.

문 면을 똑바로 밀면 잘 열린다. 그런데 문 옆면을 따라 옆으로 밀면? 아무리 세게 밀어도 문은 안 열린다. 그냥 문이 찌그러질 뿐이다.

즉 토크를 만드는 건 힘 전체가 아니라, 팔에 직각으로 작용하는 부분뿐이다. 비스듬히 밀면 그중 일부만 일을 한다. 그래서 힘이 낭비된다.

정리하면 토크를 키우는 방법은 세 가지다.

• 더 세게 민다
• 축에서 더 멀리서 민다
• 직각으로 민다

시소는 토크로 균형을 맞춘다

몸무게가 다른 두 사람도 시소를 탈 수 있다. 무거운 사람이 가운데 쪽으로 오면 된다. 이유는 이제 알 것이다. 거리를 줄여서 토크를 줄이는 것이다.

몸무게가 20인 아이가 축에서 3만큼 떨어져 앉고, 몸무게가 30인 아이가 축에서 2만큼 떨어져 앉으면 어떻게 될까? 한쪽은 20×3=60, 다른 쪽은 30×2=60. 두 토크가 똑같으니 시소는 어느 쪽으로도 기울지 않는다.

곱셈 하나로 놀이터의 균형이 설명된다. 토크가 수학 이야기이기도 한 이유다.

팽이가 넘어지지 않는 것도 토크 때문

돌아가는 팽이는 신기하다. 비스듬히 기울어져 있는데도 넘어지지 않는다. 대신 축이 천천히 원을 그리며 돈다.

여기서도 토크가 일한다. 팽이를 아래로 당기는 중력이 토크를 만든다. 그런데 팽이가 이미 빠르게 돌고 있어서, 그 토크가 팽이를 쓰러뜨리는 대신 옆으로 돌려버린다. 이걸 세차 운동이라고 부른다.

어렵게 느껴져도 괜찮다. "돌고 있는 물체는 토크에 이상하게 반응한다" 정도만 기억해 두자.

자동차 광고에 나오는 그 토크

어른들이 자동차 이야기를 할 때 "토크가 좋다"는 말을 한다. 그게 이 토크다.

자동차 엔진이 하는 일은 결국 바퀴를 돌리는 것이다. 그러니 엔진의 성능은 "얼마나 세게 돌릴 수 있느냐", 즉 토크로 표현된다. 토크가 크면 무거운 짐을 싣고 언덕을 올라갈 때 힘차게 올라간다.

위 그래프는 엔진이 빠르게 돌 때와 느리게 돌 때 토크가 어떻게 달라지는지를 그린 것이다. 가로는 엔진이 도는 빠르기, 세로는 토크다. 중간쯤에서 가장 높이 솟은 것이 보인다. 자동차마다 가장 힘이 좋은 구간이 다르다는 뜻이다.

알면 좋아지는 점

• 힘을 덜 쓴다. 안 열리는 병뚜껑을 만나면 무작정 손아귀 힘을 쓰는 대신, 고무장갑을 끼거나 뚜껑 여는 도구를 쓰면 된다. 팔을 길게, 미끄러지지 않게 만드는 게 답이다.
• 왜 그렇게 생겼는지 보인다. 스패너 손잡이가 왜 긴지, 자전거 페달이 왜 축에서 멀리 붙어 있는지, 문 손잡이가 왜 끝에 있는지가 한 번에 설명된다.
• 곱셈이 살아 있는 지식이 된다. 시소 문제는 사실 20×3=30×2를 푸는 문제다. 교과서 곱셈이 놀이터에서 그대로 쓰인다.
• 다음 단계가 쉬워진다. 지레, 도르래, 균형, 회전 운동은 전부 토크에서 갈라져 나온 이야기다. 여기를 잡아 두면 나중이 편하다.

모르면 겪는 문제

• 괜히 힘만 쓴다. 안 열리는 것을 만나면 "내가 약해서 그렇다"고 생각하기 쉽다. 사실은 미는 자리나 방향이 잘못된 경우가 많다.
• 물건을 망가뜨린다. 긴 손잡이로 나사를 조이면 토크가 너무 커져서 나사가 뚝 부러진다. 힘이 커지는 만큼 조심해야 한다는 걸 모르면 사고가 난다.
• 시소가 왜 안 맞는지 모른다. 무게만 생각하고 앉는 자리를 안 보면, 아무리 자리를 바꿔도 계속 한쪽만 내려간다.
• 다음 배움에서 막힌다. 지레나 균형 단원에 가면 "왜 이렇게 되지?"가 계속 쌓인다. 여기서 뚫어 두면 그런 일이 줄어든다.

오늘의 정리

• 토크는 돌리는 힘이다.
• 토크 = 힘 × 축에서 떨어진 거리. 둘 다 중요하다.
• 축에서 멀리, 직각으로 밀수록 잘 돈다.
• 문 손잡이가 문 끝에 있는 건 거리를 최대로 늘려 약한 힘으로도 열리게 하려는 설계다.

오늘 집에 가서 문을 열 때, 경첩 가까운 쪽을 한 번 밀어 보자. 안 열리는 그 느낌이 바로 토크가 작다는 증거다.